Метод золотого сечения.

Метод основан на делении текущего отрезка [а, b], где содержится искомый экстремум, на две неравные части, подчиняющиеся правилу золотого сечения, для определения следующего отрезка, содержащего максимум.

Золотое сечение определяется по правилу: отношение отрезка к большей его части равно отношению большей части отрезка к меньшей. Ему удовлетворяют две точки с и d, расположенные симметрично относительно середины отрезка.

Рис. 3.3. Иллюстрация метода золотого сечения:

1 — интер­вал, включающий в себя иско­мый максимум функции после

первого этапа (первого золото­го сечения в точках c и d);

2 — то же, после второго этапа (но­вая точка еи старая точка d

Путем сравнения R(с)и R(d)определяют Метод золотого сечения. следующий отрезок, где содержится максимум. Если R(d) > R(с), то в качестве сле­дующего отрезка выбирается отрезок [с, b], в противном слу­чае — отрезок [a, d].

Поэтому на каждой следующей итерации (кроме "запуска" метода на исходном отрезке) нужно вычислять только одно зна­чение критерия оптимальности.

Новый отрезок снова делится на неравные части по правилу золотого сечения. Следует отметить, что точка d является и точ­кой золотого сечения отрезка [с, b], т.е.

Обозначим коэффициент золотого сечения k=db/cd, тогда можно получить квадратное уравнение для его нахождения

k=0,618

Решение уравнения применительно к первой итерации имеет вид

Условие окончания поис Метод золотого сечения.­ка — величина отрезка, содер­жащего максимум, меньше за­данной погрешности.

Метод обеспечивает более быструю сходимость к реше­нию, чем многие другие ме­тоды, и применим, очевидно, только для одноэкстремальных функций (в практических задачах под одноэкстремальной функцией понимают функцию, содержащую один экстремум того типа, который ищется в задаче).

На рис. 3.4 приведены два этапа поиска максимума функ­ции методом золотого сече­ния.

Дана функция

R(x)=sin(x+1),

Найти макси­мум на интервале: [-1,2]. Ошибка задается по х: e =0,05.

Результаты расчетов. Для "запуска" метода найдем две симметричные точки золотого сечения для отрезка [-1, 2]:

х1 = 0,145898, х2 = 0,85410197.

Значения критериев в этих точках соответственно R(x1) = 0,911080, R(x Метод золотого сечения.2)= 0,960136. Следовательно, новым отрезком является [0,145898,2], внутри которого находится максимальное из найденных значений R. Точка золотого сечения для нового отрезка будет х3= 0,58359214, a R(x3) = 0,99991813. Далее приведены только координаты лучших точек при очередном шаге, номер шага и значения критерия в этих точках.

x3 = 0,584 R3 = 0,9999 x4 = 0,584 R4 = 0,9999

С точностью до четырёх значащих цифр задача решена на третьей итерации

d)

Рис. 3.5


documentastlttp.html
documentastmbdx.html
documentastmiof.html
documentastmpyn.html
documentastmxiv.html
Документ Метод золотого сечения.